張家山漢簡《算數書》校證二題

作者:吳朝陽  發布時間:2012-11-02 22:40:00 　　張家山漢簡《算數書》中的“傳馬”及“繒幅”兩個算題雖然多位研究者已各有考論，但事實上仍然存在錯誤及疑問。諸專家將“傳馬”題中“傳馬日二匹”中的“二匹”校改爲“三匹”是非常錯誤的，對“繒幅”題中“從利”的校釋也需要再作深入的討論。本文據算題的行文邏輯、《九章算術》中相似算題以及秦、漢法令，證明“傳馬”題中的原文“二匹”不誤，據秦、漢易代的現實及文字訓詁對“繒幅”題之“從利廣”給出全新而可信的詮釋。　　張家山漢簡《算數書》的“傳馬”算題簡文爲：
　　傳馬　傳馬日二匹共芻稿二石，令芻三而稿二。今馬一匹前到，問予芻稿各幾何？曰：予芻四斗，稿二斗泰半斗。術曰：置芻三、稿二幷之，以三馬乘之爲法，以二石乘所置各自爲實。
這個算題說：“官方由兩匹傳馬共同執行驛傳公事，每天的飼料定額爲二石，其中青草五分之三、作物秸杆五分之二，現在有一匹馬先到，應該給予青草、秸杆各多少？”其給出的算法是：青草 = 2×3／[(3 + 2)×3] = 2／5 石，即“四斗”；秸杆 = 2×2／[(3 + 2)×3] = 4／15 石，即“二斗泰半斗”。由于“術”文說“以三馬乘之爲法”，其計算公式及答數都以“三馬”作分母，因此諸專家均認爲算題中“傳馬日二匹”這個已知條件是抄寫錯誤，幷將“二匹”校改爲“三匹”[1]。然而，諸專家的這種校改事實上是錯誤的，是由對算題的錯誤理解所導致的，我們以下將證明“傳馬”原題文字沒有錯誤。
　　 
　　首先，倘若如諸專家所言，算題中的“傳馬”確爲“三匹”，那麽“今馬一匹前到”句中“前到”這一已知條件就是多餘的，因爲無論這些馬是先後到還是一起到，計算每匹馬所分得的飼料的公式都一樣，答案也不會有任何區別。換句話說，本題無需說“今馬一匹前到”之後再問“予芻稿各幾何”，只要說“問馬一匹予芻稿各幾何”即可。考察張家山《算數書》的所有其它算題、岳麓書院藏秦簡《數》的算題以及《九章算術》的算題，可以發現古人的數學問題與今人一樣，它們都不會給出多餘的、無用的已知條件。因此，“今馬一匹前到”中的“前到”二字必有自己的意義。換一個角度看，如果算題中的“傳馬”確爲“二匹”，“今馬一匹前到”而另一匹次日到，然後兩匹傳馬匯齊後再向目的地出發，那麽這兩匹傳馬在這個驛站就停留了“三匹日”，因此，驛站據“傳馬日二匹共芻稿二石”的飼料發放規定，以“三馬”作分母而將二石飼料按“三匹日”均分，就是順理成章的了。也就是說，這樣來理解這個算題，則“馬一匹前到”就是必要的、有用的已知條件，而不是多餘的了。可見，此前諸專家將“傳馬日二匹”校改爲“傳馬日三匹”是不符合算題的行文邏輯的。
　　 
　　其次，本題屬于上古數學中典型的“衰分”算題，其完整而嚴謹的“術”文可以擬作：“置芻三、稿二，各自爲列衰，副幷之，以三馬乘之爲法，以二石乘未幷者各自爲實，實如法得一斗。[2]”題中“術”文以“置芻三、稿二幷之，以三馬乘之爲法”闡述計算公式，是典型的“衰分”計算公式的省略式叙述，可見《算數書》顯然將這個算題作爲“衰分”算題。
　　值得注意的是，《九章算術•衰分》中有一道算題含有“今有大夫一人後來”的已知條件，此題全文爲：
　　今有禀粟，大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，一十五斗。今有大夫一人後來，亦當禀五斗。倉無粟，欲以衰出之，問各幾何？答曰：大夫出一斗四分斗之一，不更出一斗，簪褭出四分斗之三，上造出四分斗之二，公士出四分斗之一。
　　術曰：各置所禀粟斛斗數，爵次均之，以爲列衰，副幷而加後來大夫亦五斗，得二十以爲法。以五斗乘未幷者各自爲實，實如法得一斗[3]。
在《九章算術》的這個算題中，“今有大夫一人後來”這個條件使得參與分糧食的人數多了一個，因而使“衰分”問題的分母比原來增加一。將“傳馬”算題與此題比較，可以發現兩道算題的題型基本相同：此題的“今有大夫一人後來”與“傳馬”題中的“今馬一匹前到”條件在算題中的作用相同，它們的出現使得“衰分”問題的分母增加，而此題“倉無粟”的已知條件規定了“衰分”問題的分子不變，與“傳馬”題“傳馬日二匹共芻稿二石”的規定作用相同。這證明，出現應分得物品者“先到”或“後來”的算題在傳統的“衰分”類問題中是一種典型的算題，幷且我們對“傳馬”題的理解是正確的，算題中的傳馬本來就是二匹，計算公式“以三馬乘之爲法”，是由于“今馬一匹前到”的緣故。
　　 
　　至此我們基本證明了張家山《算數書》“傳馬”題原文的正確性。唯一的疑問是：雖然“傳馬日二匹共芻稿二石”是規定條件，但既然“今馬一匹前到”，爲什麽驛站不追加飼料發放的數量？如果這個疑問可以得到圓滿的解答，那麽我們對原題的詮釋就絕對沒有問題了。事實上，“傳馬”算題各方面都是符合秦、漢的官方法令的。
　　睡虎地秦簡《田律》規定“以其受田之數，無墾不墾，頃入芻三石，稿二石。[4]”而張家山漢簡《二年律令》之《田律》則規定：“頃入芻三石……稿皆二石[5]”，可見秦漢時官府經常按的比例徵收“芻”、“稿”。既然官方按的比例徵收“芻”、“稿”，那麽發放飼料的比例也應相同，可見“傳馬”題中“令芻三而稿二”符合當時的實際情况。張家山漢簡《二年律令》中找不到傳馬飼料定額的官方規定，但睡虎地秦簡《傳食律》對“不更以下到謀人”有供給“芻稿各半石[6]”的規定，雖然這個規定中的“芻”、“稿”比例與上述的常見比例不同，但其規定一馬一日的飼料總量恰爲一石，正與“傳馬”算題中“傳馬日二匹共芻稿二石”一句所給定的配額相同。可見，張家山漢簡《算數書》“傳馬”算題中的“傳馬日二匹共芻稿二石”、“令芻三而稿二”等已知條件都是符合當時現實的，而將算題改爲“傳馬日三匹共芻稿二石”則與法令規定的傳馬飼料配額不符。
　　更爲重要的是，張家山漢簡《二年律令•傳食律》規定“食馬如律”，“各縣署食盡日，前縣以推續食[7]”，可見，秦、漢驛站實行嚴格的數量化管理，驛站給傳馬供食需要遵循嚴格的法令法規。在“傳馬”題中，執行同一任務的兩匹傳馬中的“後到”者顯然在上一驛站“署食”的時間是“今馬一匹前到”的當日，根據“各縣署食盡日，前縣以推續食”的規定，算題中的驛站只能供給傳馬一天的飼料，依照“傳馬日二匹共芻稿二石”的條件，自然只能支出“芻稿二石”，而不能擅自增加飼料供給。因此，驛站在遵行法令的前提下，針對“馬一匹前到”的具體情况，只能將“芻稿二石”的飼料配額按“三匹日”平均分配，“以三馬乘之爲法”來計算每匹馬的飼料配額。如此，則飼料配額的三分之一可供“前到”的那匹傳馬當日食用，其餘三分之二則留作兩匹傳馬次日彙集後的飼料。算題如此分配傳馬的飼料，既遵守法令又考慮實際情况，此可見我們對此題的釋讀是合法、合情、合理的。
　　總之，張家山漢簡《算數書》“傳馬”算題原文行文符合邏輯，問題與《九章算術》中一種“衰分”算題題型相同，而且其計算公式符合秦、漢驛站給傳馬供食的法令。因此，“傳馬”算題原文沒有錯誤，此前諸專家所作的校改是錯誤的。　　關于張家山漢簡《算數書》“繒幅”算題，其主要問題是題中“從利廣”三字應如何釋讀，此題的簡文如下：
　　繒幅　繒幅廣廿二寸、袤十寸，賈廿三錢。今欲買從利廣三寸、袤六十寸，問積寸及賈錢各幾何？曰：八寸十一分寸二，賈十八錢十一分錢九。術曰：以廿二寸爲法，以廣、（從）[袤]相乘爲實?，[實]如法得一寸。亦以一尺寸數爲法，以所得寸數乘一尺賈錢數爲實?，[實]如法得一錢。
題目大意是說：“繒的標準幅寬爲二尺二寸，標準幅寬的繒每十寸價格爲23錢。現在想買‘從利廣’三寸而長爲六十寸的繒，問折算爲標準幅寬的繒是多少寸？幷問價格是多少錢？”算題中“積寸”即“折算爲標準幅寬的繒”的計算公式爲：积寸= (幅宽×长度)／标准幅宽 = 3×60／22 = 。題中“術”的原文說計算公式的分子是“廣、從（縱）相乘”，諸專家一致認爲應爲“廣、袤相乘”之誤，但除此之外，計算公式與答數都是正確的，而算題關于“賈錢數”的計算公式也完全正確。因此，這裏的問題是：“從利廣”三個字是什麽意思？“廣、袤相乘”誤寫爲“廣、從（縱）相乘”有沒有什麽可以理解的原因？
　　 
　　關于上述第一個問題，至今只有彭浩和郭書春兩位專家給出自己的解答，其他張家山《算數書》研究者則或者引述彭、郭的見解，或者對這個問題避而不提。彭浩先生認爲“從利”是“繒帛名[8]”，而郭書春先生將“從利”二字“依意校正”爲“繒幅[9]”。然而，由于彭先生沒有給出任何文獻依據，我們也找不到如此釋讀的文獻支持，因而說“從利”是“繒帛名”大概只是彭先生的個人臆斷。而郭書春先生之“依意校正”，既與原竹簡清晰的簡文相違，也沒有給出“繒幅”如何可能誤寫爲“從利”的理由，也很難令人信服。事實上，根據彭浩與郭書春二位先生對本題的解讀，“今欲買”的繒之幅寬僅爲“三寸”，這與實際可能相差極遠――試想，標準織品幅寬爲二尺二寸，有誰會織幅寬三寸的繒？誰又會賣幅寬三寸的繒呢？可見，僅憑這個疑問，彭、郭二位先生的校讀就非常值得懷疑。
　　 
　　我們認爲，以“三寸”這一特別的幅寬爲出發點，對題中關鍵文字進行訓詁推究，可以解决這個算題的釋讀問題。首先，秦朝官方規定布“幅廣二尺五寸[10]”，而漢代則規定“布帛廣二尺二寸爲幅[11]”， 張家山《算數書》下葬于呂後二年左右，而本算題說“繒幅廣廿二寸”，因此它是一個編寫于西漢初年的算題。張家山出土的《二年律令•關市律》規定，“販賣繒布幅不盈二尺二寸者，沒入之。[12]”根據這條法令，交易幅寬三寸的繒是違法的，由于張家山漢簡《算數書》的算題都是切合實際生活的問題，因此彭、郭二先生將“三寸”理解爲繒幅是不可信的。根據《二年律令•關市律》的規定，紡織品幅寬不足時會被依法沒收，反之依情理則可以斷定幅寬超標應不受懲處。在秦、漢易代之際，民間織機不可能很快改弦更張，既然紡織品幅寬超標不會受罰，則依秦制而生産的“幅廣二尺五寸”的紡織品在漢初的市場上流通，就是合法而又符合情理之事。秦、漢的一尺大小相等，而其紡織品幅寬之差恰好就是算題中的“三寸”，可見秦、漢這“三寸”幅寬之差，正是本算題的現實基礎。
　　在“繒幅”算題中，繒價是以標準幅寬之下每尺價格爲若干的方式給定的，這與此後兩千年紡織品貿易業的計價方式是一致的。既然“幅廣二尺五寸”的紡織品在“布帛廣二尺二寸爲幅”的時代仍然流通，因此，在交易“幅廣二尺五寸”的紡織品時，把這“三寸”幅寬之差折算爲標準幅寬下的布帛長度，是一個合理的計價方式。事實上，仔細研讀此算題的文字，可以發現它正是按照這種思路設計的算題。本算題要“問積寸”，而“積”字除了常訓“聚”之外，也常訓“多”，例如《漢書·食貨志》“孰積于此”句顔師古注曰“積，多也[13]”，就是“積”訓“多”的例證。因此，本算題之“積寸”，可以解釋爲“按標準幅寬折算，三寸幅寬所多出的繒的寸數”。
　　“從”、“利”二字的古訓進一步支持我們的釋讀。古人說 “對文則橫長謂之廣，從長謂之袤[14]”，因此本算題中“廣”、“袤”對稱符合這兩個字的使用習慣。然而布帛匹長達四丈，因此貿易時均橫展而量度，所以其幅寬正是“從（縱）長”，可見繒帛的幅寬應可稱爲“從”。此外，古文中“利”字可以訓“益”，《荀子•榮辱》“以治情則利”句楊諒注，及《禮記•月令》“利以殺草[15]”之孔穎達疏均可以爲證。因此，“從利廣三寸”可以解釋爲“幅寬益廣三寸”。由于“利廣三寸”已使用“廣”字，因而此句中易“廣”爲“從”而言“從利廣”，是爲了避免句中重複使用“廣”字，是符合修辭邏輯的做法，可見我們釋“從”爲幅廣不僅合情而且合理。
　　由于秦、漢易代之際秦幅之繒當有貿易流通，由于秦、漢繒幅之差恰爲“三寸”，由于算題所求“積寸”可以解釋爲“按標準幅寬折算，三寸幅寬所多出的繒的寸數”，更由于“從利廣”別無其它合于情理的解釋，因而我們非常有理由斷定：“從利廣三寸”確應解釋爲“幅寬益廣三寸”！因此，“繒幅”算題正是一道因秦、漢易代應運而生的實際應用題。不僅如此，在我們的釋讀中，算題既以“廣”、“袤”對稱，又以“從”稱幅廣，這就造成了兩個概念三個用詞的局面，因而撰題者就可能因此相涉而在後文中誤“袤”爲“從”，所以，我們對此題的解讀不僅貫通了全題，而且給出了算題後文誤“袤”爲“從”的邏輯。
　　 
　　（編者按：本文收稿日期為2012年11月2日。）

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[1]參見：彭浩．張家山漢簡《算數書》注釋．第1版．北京：科學出版社，2001年，63；郭書春．《算數書》校勘．中國科技史料，2001，22（3），202～219．
[2]參考：李繼閔．《九章算術》導讀與譯注．第1版．西安：陝西科學技術出版社，1998，340～365．
[3]李繼閔．上揭書，344～345．
[4]睡虎地秦墓竹簡整理小組．睡虎地秦墓竹簡．第1版．北京，文物出版社，1978，27～28．
[5]張家山二四七號漢墓竹簡整理小組．張家山漢墓竹簡[二四七號墓]．第1版．北京，文物出版社，2001，165．
[6]睡虎地秦墓竹簡整理小組．上揭書，102．
[7]此處二引文均見：張家山二四七號漢墓竹簡整理小組．張家山漢墓竹簡[二四七號墓]．第1版．北京，文物出版社，2001，164．
[8]彭浩．張家山漢簡《算數書》注釋．第1版．北京，科學出版社，2001，67．
[9]郭書春．《算數書》校勘．中國科技史料，2001，22（3），202～219．
[10]睡虎地秦墓竹簡整理小組．睡虎地秦墓竹簡．第1版．北京，文物出版社，1978，56．
[11]（漢）班固．漢書，第1版．中華書局，1962，1149．
[12]張家山二四七號漢墓竹簡整理小組．張家山漢墓竹簡[二四七號墓]．第1版．北京，文物出版社，2001，168．
[13]（漢）班固：第1版．中華書局，1962，1154．
[14]轉引自：宗福邦等．故訓匯纂．第1版．北京，商務印書館，2003，2058（“袤”字條第9義項）．
[15]轉引自：宗福邦等．故訓匯纂．第1版．北京，商務印書館，2003，225（“利”字條第52義項）．