里耶秦简“九九表”初探
作者:王焕林 發布時間:2006-02-16 00:00:00 摘 要：里耶秦简九九表的文字、内容、句数均有其独特之处，藉此，本文补正了王国维《流沙坠简》“九九术”考释之误，并对秦简九九表所体现的数理内涵（乘法定义、乘法交换律、筹算基础）及《易》学观念进行了阐释。关键词：秦简 乘法 数理 周易
里耶秦简九九表是目前所能见到的中国乘法口诀的最早实物（见下表）。
按，九九口诀，《管子》《战国策》《荀子》等先秦文献多有称引。[1]《韩诗外传》卷三：“齐桓公设庭燎为便人欲造见者，期年而士不至。于是东野鄙人有以九九见者。桓公使戏之曰：‘九九足以见乎？’鄙人对曰：‘……夫九九薄能耳，而君犹礼之，况贤于九九者乎？’……桓公曰：‘善！’乃因礼之。期月，四方之士相导而至矣。”[2]此事《说苑·尊贤》、《汉书·梅福传》亦有称引。看来，春秋战国时代，九九之术实已属雕虫小技。然而，在里耶秦简出土之前，我们看到的九九表实物，均出汉唐以下，以这类实物与上述典籍记载相互印证，总有时间悬隔之忧。对数学史研究而言，以这些残缺不等、内容不一的九九表，自然存在更大的局限性。——在这个意义上，年代最早且完整可读的里耶秦简九九表，就显得非常可贵了，它无疑将带来一片柳暗花明、豁然开朗的新景观。遗憾的是，文史工作者及数学史家似乎都还没有措意于此。笔者不揣浅陋，试从文字校诂、数理内涵、文化阐释三个方面略作探讨。
一、文字校诂
编号为J1(16)1的里耶秦简九九表与考古发现及传世典籍中的某些九九表颇有不同，因此，作为研究展开的起点，校勘与训释，实不可少。为便于讨论，兹引录其全文如下：[3]
九九八十一 八九七十二 七九六十三 六九五十四 五九四十五
四九卅六 三九廿七 二九十八 八八六十四 七八五十六
六八四十八 五八四十 四八卅二 三八廿四 二八十六
七七四十九 六七四十二 五七卅五 四七廿八 三七廿一
二七十四 六六卅六 五六卅 四六廿四 三六十八
二六十二 五五廿五 四五廿 三五十五 二五而十
四四十六 三四十二 二四而八 三三而九 二三而六
二二而四 一一而二 二半而一
凡千一百一十三字
以此表与考古发现及传世典籍中的九九表相互比勘，我们得到了如下几点收获。
（１），正王国维《流沙坠简》考释之误
1914年，王国维以《孙子算经》九九表校敦煌汉九九表残简，颇有发明。今以里耶秦简九九表校敦煌汉简九九表，又可补王氏之不足。王国维《流沙坠简》“九九”残简跋：“此简末言‘大凡千一百一十’（‘十’下似有‘三’字，然已不可辨。依法推之，则不合有‘三’字）。若并‘一一如一’九句，合计总数当得一千一百五十五，除此九句，总数乃得千一百一十。”[4]按，王国维所据材料，出自（法）沙畹（Edouard Chavannes）《斯坦因所获汉文文献》一书，由于原简末句墨迹漫漶，不能卒读，故王氏以为“十”下“不合有‘三’字”，今观里耶秦简，可以肯定，敦煌汉简九九表末句正当作“大凡千一百一十三”！——因为这正是每句得数81+72+63+……+4+2+1的总和。按，敦煌汉简九九表分为六列书写：“二三而六，二二而四”以下诸句书于第五列，最后一句“大凡千一百一十？”独占一列。由于木简残损过半（仅存17句），且模糊不清，王氏已不知“二二而四”之后，尚有“一一而二、二半而一”两句。他只看出前一句的某些残痕，并且还有误解：“第五列末行，字不可识，末为‘一’字，上有两字漫灭，但存微迹，然非‘一一而一’则可知也。”[5]质诸里耶秦简，该句的本来面目，其实就是“一一而二”！王国维只看清“二”字的一横，致有“末为‘一’字”之误，所谓“上有两字漫灭”则恰是 “一一而”三字中第二个‘一’字书作重文符号后的结果。令人不解的是，王氏何以未能觉察自己推算中的矛盾。他说：“今乘法由‘一一如一’至‘九九八十一’凡四十五句，……考《孙子算经》乘法全载此四十五句，亦起九九而讫一一，末言‘从九九至一一，总成一千一百五十五’。” ——显然，要使总计为一千一百一十，只能是“九九八十一”讫于“二二而四”36句。实际上，简中“二二而四”后明明别有它句，其总计怎么可能还是一千一百一十呢？——以王氏之睿智，尚有此失，夫复何言？质言之，王国维“‘十’下似有‘三’字”之疑，实属多余！由此看来，敦煌汉简九九表与里耶秦简九九表并无不同。
（２）末句“字”字绝非衍文
里耶秦简九九表末句“凡千一百一十三字”云云，颇令读者迷茫。袁家荣先生就曾错认为这是对某一组简牍文字总量的统计，袁称：“简文最后说‘凡千一百一十三字’，从这枚木牍的数字来看，它应该是一组简牍中的一枚。”[6]胡平生先生知此为表中各句得数之和，但对“字”字存有误解，他说：“同出的木牍中还有类似的九九表，文末也写有‘凡千一百一十三’，可见这里的‘字’字是衍文。”[7]笔者认为，胡氏此说失之武断！按，考古发现及传世典籍所见九九表，总计各句得数时（亦有不总计者），绝大部分确实没有单位，故胡先生之失，不足为奇。但是，倘以里耶秦简九九表与敦煌《立成算经》九九表互相比照，我们就能发现问题。按，《立成算经》九九表起“九九八十一”，讫“一一如一”，共计45句，其表末云：“都计一千一百五十五文”，[8]——这个“文”字，绝非衍余！因为该表尚有另外七处使用了此字。为说明问题，兹略引相对集中的三处如下：[9]
六六三十六 
直下三十六
五六三十 
通前六十六 
四六二十四 
通前九十 
三六一十八 
通前百八文 
二六一十二 
通前一百廿文 
一六如六 
通前一百廿六文 
按，《立成算经》每句口诀的乘积都用算筹记数法表示于后，“通前”是指乘积的递相叠加，其得数亦用算筹记数法表示。对我们来说，这些算筹记数以及屡次出现的“文” 字，实在是太重要了。可以肯定：在每一个得数之后，其实都可以加上‘文’字。换言之，虽然《立成算经》大部分得数之后没有“文”字，但这种现象只不过是省略之后的结果，否则便无以解释这八个“文”字的使用何以呈现出一种随机性。至此，我们不得不承认：“文”乃是一种筹算单位（后世钱币单位亦用“文”，正堪相互发明）！《说文解字》序：“依类象形，故谓之‘文’，其后形声相益，即谓之‘字’。‘文’者物象之本，‘字’者言孳乳而寝多也。”算筹记数，纵横有象，称之为“文”，适得其所！
复次，《立成算经》之所以多省“文”字，其实也不难解释。上引《韩诗外传》齐桓公设庭燎之事表明：早在春秋战国时代，九九之术实已相当普及。蒙童诵习、众口流传的歌诀，自以简略、精整为务，基于一脉相传的筹算方式，省略其单位，自然不足为奇。
古代典籍中，自来‘文’‘字’可以同义互换，所以，我们认为，里耶秦简九九表末句“凡千一百一十三字”中的“字”字绝非衍文，它其实也是筹算单位。质言之，里耶秦简九九表，其技术基础也是筹算！我们在每句得数之后加上一个“字”字，其实并无不可。按，中国筹算起源甚早，其最初年代虽不易确定，但春秋战国时代，筹算普遍应用的事实，却绝对不容置疑。此为数学史常识，无须赘言。
当然，里耶秦简九九表筹算单位用“字”，敦煌《立成算经》九九表筹算单位用“文”，孰为优长？鄙意以为“字”当胜“文”。考诸上古声韵，字，从母之韵；筹，定母幽韵。之幽旁转，典籍习见；定从邻纽，用例可稽（王力《同源字典》以“尽”“殄”同源，“殄”，定纽；“尽”，从纽）。[10]字、筹声近，殆无可疑，唯书证材料尚不见字、筹通假之实，故笔者亦不敢妄下结论。“字”果通“筹”否？待考。
（３），“而”“如”通用
王国维《流沙坠简》“九九”表跋：“此简‘二二而四’，今法作‘二二如四’。考《大戴礼》、《淮南子》并引‘三三而九’，《周礼》疏亦引‘二二而四’、‘三三而九’，正与此同，知唐人尚作‘而’。《容斋续笔》云：‘三三如九、三四十二皆俗语算术’，知改‘而’作‘如’，始于宋代也。《孙子算经》亦作‘二二如四’、‘三三如九’，殆唐以后刊本所追改，非原书之旧矣。”[11]按，王说不确。张家界古人堤汉代九九表残简，尚存“二五如十”句，[12]是知古九九表亦有作‘如’者。按，“而”“如”声同韵近（而，日母之韵，如，日母鱼韵），可以通转，先秦典籍中二字互换的情况，比比皆是。王引之《经传释词》卷七：“而犹如也”、“如犹而也”。[13]王氏复引典籍书证云：“《诗·都人士》：‘彼都人士，垂带而厉；彼君子女，卷发如虿’。《大戴记·卫将军文子》篇曰：‘满而不满，实如虚；过之如不及。’《孟子·离娄》篇曰：‘文王视民如伤，望道而未之见。’《荀子·强国》篇曰：‘黭然而雷击之，如墙压之。’《说苑·奉使》篇曰：‘意而安之，愿假冠以见；意如不安，愿无变国俗。’皆以‘如’‘而’互用。”[14]
由此看来，《孙子算经》九九表中的‘二二如四’、‘三三如九’，不一定必为唐宋刊本所改。汉去秦未远，里耶秦简九九表虽用“而”字，但不排除秦时九九表亦有用“如”字的可能。我们认为，在先秦古九九表中，“而”“如”通用，并无早晚之别，王国维“改‘而’作‘如’，始于宋代”之说不可尽信。
（４），“二半而一”非小数运算
胡平生《读里耶秦简札记》：“与过去发现的九九表不同，这个表多了‘二半而一’一项，这实际上已经是小数运算。”[15]按，此说有误。钱宝琮《中国数学史》说：“古人记数，碰到整数之下还有奇零部分，通常用分数表示。十进小数的普遍应用是相当迟的。（晋）刘辉在他的《九章算术》‘少广’章注中，曾主张用一位或多位十进小数表示无理数平方根或立方根的奇零部分，但这个超时代的宝贵意见没有被一般数学工作者采纳。唐朝统一中国以后，……数学知识和计算技能有了相应的发展。就在这个时期里，十进小数逐渐获得了广泛应用。”[16]一般认为，刘辉只是最先提出了关于十进小数的概念，小数的实际运用，主要还是受南北朝以后印度数学知识传入的激发。数学史家李俨以六至八世纪（南北朝至隋唐）汉译《大宝积经》《大般若波罗密多经》《大波罗密多经》《大方广佛华严经》中小数运用的实例助成此说，堪称精审（参李俨《中国古代数学史料》“天竺小数记法”一节）。[17]由此看来，先秦时期，中国尚未使用小数。
考诸中国数学史，先秦金文中即已出现了分数的记载，此见《商鞅量》：“十八年齐遣卿夫二众来聘，冬十二月乙酉大良造鞅爰，积十六尊五分尊（之）一为升。”[18]董作宾先生甚至在甲骨文中考出了殷商的四分历（其一年的长度为三百六十五又四分之一）。至于复杂的分数运算，在反映秦汉时期数学成就的《周髀算经》《九章算术》及《算数书》（1984年出土于湖北江陵）中都已得到了普遍的应用。所以，我们认为，里耶秦简九九表中的“二半而一”，理当视为分数运算。
二、秦简九九表的数理内涵
（一）、乘法交换律运用的最早物证
秦简九九当属所谓“小九九”，因为表中有“八九七十二”而无“九八七十二”；有“三七二十一”而无“七三二十一”（余句准此）。结合《管子》《战国策》《荀子》等传世古文献所引九九口诀亦全属“小九九”的事实（见下表），[19]我们推断：最迟不晚于春秋战国时代，中国人就已经掌握了乘法交换律。不言而喻，里耶秦简九九表为这一推论提供了最早的实物证明。
（二）、筹算：九九的技术基础
在考证表末“凡千一百一十三字”一句时，我们已经指出，“字”是一种算筹单位。参照敦煌《立成算经》九九表详细的算筹记数及运算过程，换一个角度，我们相信：筹算构成了九九的技术基础。对此，上文已有所讨论，兹不赘。
（三）、加法：九九的数理基础
在阐述这一结论之前，学者们从不知晓的两点新情况，首先必须予以说明。
（１）、九九表的句数
钱宝琮《中国数学史》：“现在的乘法口诀是从‘一一如一’起到‘九九八十一’止，共四十五句。古代的乘法口诀是从‘九九八十一’起到‘二二如四’止（缺少‘一九如九’、‘一八如八’等九句），只有三十六句。”[20]长期以来，此说似已成数学史界共识，迄今未见异议。但是，里耶秦简九九表的出土，却动摇了这一结论：秦简九九表既不是45句，也不是36句，它是38句!——这种38句的九九表，学者们确实未尝梦见。王国维考释敦煌汉简，之所以与手中38句的九九表失之交臂，殆亦以此。他误将38句的九九表视为36句者大加阐发，留下了自相矛盾，顾此失彼的遗憾。
（２）、“一一而二”不当改释
湖南省文物考古研究所《湘西里耶秦代简牍选释》（张春龙先生执笔）将简中的“一一而二”改为“一二而二”，非是！其实，注释者也看出了该句“一”字下所加的重文符号，但是，囿于成见，仅仅以“简牍内容是乘法表”为由，就轻率地将其改释为“一二而二”了。[21]我们认为，这种改释，理由不足。其一，简中该句清晰可读，目为误书，太过勉强。其二，简中口诀，古代文献只浑称为“九九”或“九九之术”，即使用于乘法运算，亦并未称之为“乘法表”。 其三，“一一而二”确是加法，但正是靠了这句，我们才得以了解先秦九九表的数理基础（详下文）。甚至可以说，此处一字之改，必成障目之叶，会使研究者枉然错失泰山。
基于以上说明，我们应当承认：先秦九九表中确乎没有“一九如九”、“一八如八”到“一二如二”、“一一如一”等九句。如何解释这一奇特现象？前人之述未备，兹略抒管见如下。
自然数乘法有两种定义法，一种以集合为基础概念，另一种以加法为基础概念。
定义（Ａ）：设有b个没有公共元素的等价集合 … ，它们的基数都是a，它们的并集c的基数为c，那么c叫做a与b的积。求两个数积的运算叫做乘法。
定义（Ｂ）：b个相同加数a的和c叫做a与b的积，求两个数积的运算叫做乘法。
根据定义（Ｂ），乘数最小应是2。所以，遇到乘数是1或者0的情况，就不能说求1个或0个加数的和。因此，需要对（Ｂ）补充定义：
（1）当乘数是1时，a×1＝a
（2）当乘数是0时，a×0＝0
数学史研究表明：乘法产生于若干个相同数之和的运算（即同数连加）。换言之，乘法乃是加法的一种特殊形式。因此，早期的乘法与加法颇为类似，埃及4000年前使用的“倍乘叠加法”就是最好的例证。所以，我们有理由认为，先秦的九九口诀亦来源于加法。具体而言，如“八九七十二”，其原始含义当为“八个九相加等于七十二”（亦即“同数连加”的运算）。实际上，秦简九九表除“一一而二”需要表述为“１+１=２”之外，其余37句，均可以作上述理解。
总之，先秦时期，虽然九九口诀早已用于乘法计算，但加法作为其数理基础的实质仍班班可考。——确立了这一数理基础，我们便可以轻松地解释古九九表何以无“一九如九”等九句。这是因为：参照上述第二种乘法定义（同数连加），“一个九相加”之类的命题，本身既不必存在，也不合逻辑。这也就是“一一而二”（１+１=２）这句加法不同于九九表其他口诀（同数连加）的秘密所在。质言之，先秦时代，乘法虽然已经广为运用，但就数学的严谨性、逻辑性而言，古人对乘法的定义尚难称完善。这不是数典忘祖、妄自菲薄，而是秦简九九表所透露的客观事实。
数学史家杜石然《中国数学简史》称：“据现有的资料，‘九九歌’最初是由‘九九八十一’到‘二二而四’，至少到公元一、二世纪时仍是如此。……把‘九九歌’扩充至‘一一如一’，这大约是公元五至十世纪间的事。”[22]——看来，最早也要到魏晋时代，中国数学家才确定了乘法定义。
复次，藉九九口诀源出加法的数理基础，我们还可以获得如下几点认识：
其一，“九九歌”虽然早已用于乘法运算，但不称“乘法表”，只浑称“九九”或“九九之术”，正是乘法定义尚未完备的体现。
其二，如果将“九九八十一”完全等同于“9×9=81”（余句准此），那么，“一一而二”这句加法，置于37句乘法口诀中就显得极不协调。反之，将各句来源归结为加法运算，则有体例统一之效。
其三，表末总和“凡千一百一十三”云云也是其源出加法的体现。
其四，敦煌《立成算经》九九表不但记有总和，而且还记有将各句得数分为九类次第相加（所谓“通前”）的详细过程，这就更加明确地透露了九九之术与加法的渊源关系。
三、秦简九九表中的易学观念
在人类科技史的研究中，数学史是颇为成功的一门学科。近年来，数学文化史的研究成果，尤堪注目。通过对远去的古代文明抑或现存的原始部落的考察，学者们业已发现：原始的数学（或数字）都具有数量性与神秘性的双重复合特征。例如，印度的宗教文化就带有数学的神秘色彩。在古希腊，原始数学的神秘性通过毕达哥拉斯 “万物皆数” 的思想亦融入了柏拉图的唯心主义哲之中。罗素在论述西方哲学时曾经指出：“数学与神学的结合开始于毕达哥拉斯，它代表了古希腊、中世纪的以及直迄康德为止的近代宗教哲学的特征。”[23]
中国文化史研究表明，《周易》筮法及卦爻就是原始数学神秘性与数量性双重复合的典型。《左传·僖十五》：“筮，数也。”《汉书·律历志》：“伏羲画八卦，由数起。”——这是卦、筮源于数学的代表性文献。同时，作为六经之首的《周易》也深刻地影响着古代数学的发展。一方面，自刘辉《九章算术注》以后，古代数学家大都将《周易》视为数学发展的源头。另一方面，甄鸾、秦九韶、朱世杰、程大位等著名数学家无不采用《周易》观念来表达数学问题。
“九九”是古代数学的代名词，前人将它比附于《周易》，由来已久。《管子·轻重戊》：“宓戏（即伏羲）作造六峜以迎阴阳；作九九之数以合天道。”（魏）刘辉《九章算术注》：“昔包牺氏（即伏羲）始画八卦，以通神明之德，以类万物之情；作九九之数，以合六爻之变。暨于黄帝，神而化之，引而申之，于是建历纪、协律吕，用稽道源，然后两仪四象精微之气可得而效焉。”[24]里耶秦简九九表，也渗透着某些易学观念。
（一）、太极、两仪：“二半而一、一一而二”
在里耶秦简九九表38句口诀中，“二半而一、一一而二”两句的特殊性最为引人注目：前者涉及分数，后者纯为加法。律之以数学的严谨性、逻辑性，它们与其余36句“整数乘法运算”的统一体例殊不相称。二者被人为地添进九九表，是古人将数学比附于易学的结果。
《易·系辞》：“易有太极，是生两仪，两仪生四象。”在古代文献中，太极、太乙、太始、太一、大一、天一异名同实，其数量性的表达，都是“一”。显然，“太极”，“两仪”，“四象”的生成关系可以转换为一个等比数列：1，2，4。九九表“二半而一、一一而二、二二而四”三句的得数便与它构成了形式上的对应。
从数学意义上说，这种比附失之机械，甚至有画蛇添足之嫌；但从文化意义上说，它却表现了古人对数的神秘性的关注。
《老子》：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”《庄子》：“圣有所生，王有所成，皆原于一。”《吕氏春秋》：“万物所出，造于太一，化于阴阳。” 《淮南子》：“一也者，万物之本也。” 《说文解字》：“惟初太极，道立于一，造分天敌，化成万物。”——数始于一，它构成了古人对世界本原、万物由来的哲学思考的基础。
值得说明的是，八卦古有六法之称（六爻之义盖本如此）。[25]所以，从“比附”的角度来说，九九表“二三而六”与《易·系辞》“四象生八卦”亦能对应。
（二）、乾卦：“九九八十一”
《素问》中说：“天地之至数，始于一，终于九焉。”一为数之始，九为数之极。古九九表始于“九九八十一”似乎有悖常理。对此，有学者认为，九九表最初的顺序本来是由“二二如四”到“九九八十一”，后来人为地进行了改变。改变的根据是来自标准律管的长度和直径，即律管长九寸，径九分，“九九八十一”，此种律管既定为标准，乘法口诀也就随之倒了过来。[26]作为一种推测，此说知音甚少。基于文化史的考察，我们认为，古九九口诀的顺序其实是易学观念影响的结果。兹说明如下。
首先，我们要改变一个由来已久的认识：与其说古九九表始于“九九八十一”，不如说古九九表始于因数为九的运算。敦煌《立成算经》九九表，把“九九八十一”至“一九如九”共九句的乘积逐一合计（即所谓“通前”：81+72+63+54+45+36+27+18+9=405），作为第一单元而置诸表首就是最好的例证。
复次，上文述及，九九诀源出筹算，而《周易》筮法与筹算又极为相似（高亨、三上义夫等学者甚至认为《周易》的阴阳爻符号原本就是算筹的图像）。[27]所以，基于《周易》象数与数学的复杂关系，古人将二者互相比附，实在不足为奇。《管子》：“宓戏（即伏羲）作造六峜以迎阴阳；作九九之数以合天道。”《九章算术注》：“昔包牺氏（即伏羲）始画八卦，以通神明之德，以类万物之情；作九九之数，以合六爻之变。”这两种说法提示我们：古九九口诀的排列顺序，当由《周易》卦象（即“六爻之变”）求之。
按，《周易》以乾卦居首，其卦象为
，即六条阳爻的重叠。众所周知，《周易》阳爻称“九”，重卦（乾）由单卦
（乾）叠加而成（谭戒甫先生《周易卦爻新论》甚至认为乾卦实为九九相乘）[28]，就此而言，乾卦谓之“九”的演算似亦无不可。乘法口诀既然比附于周易的“六爻之变”，以因数为“九”的运算开始也就意味着与乾卦的对应了。这正是古九九表始于“九九八十一”的原因。
或谓因数为九的运算中，“六九五十四”跟乾卦不是更加吻合吗？乘法口诀何以不以此句开头呢？我们说过，九九表与《周易》卦序只是一种比附关系，它当然不能违背数学自身的逻辑前提。换言之，古九九表始于“九九八十一”或“二九一十八”都可以理解，始于中间的“六九五十四”就未免太过牵强了。
本文属2005年国家社科基金资助项目《里耶秦简研究》（批号：05BYY024）成果之一。
作者简介:
王焕林（1965—— ），男，土家族，湖南省龙山县人。硕士，副教授，主要从事古文献及科技史研究。2005年主持国家社科基金项目《里耶秦简研究》（批号：05BYY024）。
通讯地址：湖南吉首市，吉首大学文学院
邮政编码：416000
电话：13574358089
电子信箱：whl3388@163.com
[1]李俨．中国古代数学史料[M]．上海：上海科学技术出版社，1963．14.
[2]李俨．中国古代数学史料[M]．上海：上海科学技术出版社，1963．12.
[3]湖南省文物考古研究所.湖南龙山里耶战国－秦代古城一号井发掘简报[J]，文物，2003(1)．11.
[4]王国维．流沙坠简[M]．北京：中华书局，1963．92.
[5]王国维．流沙坠简[M]．北京：中华书局，1963．92.
[6]向顺荣．里耶古城[M]．西宁：青海人民出版社，2003．44.
[7]胡平生．读里耶秦简札记．“简帛研究”网，2003/10/23（http://www.jianbo.org ）.
[8]李俨．中国古代数学史料[M]．上海：上海科学技术出版社，1963．39.
[9]李俨．中国古代数学史料[M]．上海：上海科学技术出版社，1963．38.
[10]王力．同源字典[M]．北京：商务印书馆，1997．513．
[11]王国维．流沙坠简[M]．北京：中华书局，1963．93.
[12]胡平生．读里耶秦简札记．“简帛研究”网，2003/10/23（http://www.jianbo.org ）.
[13]王引之．经传释词[M]．长沙：岳麓书社，1984．138.
[14]王引之．经传释词[M]．长沙：岳麓书社，1984．144.
[15]胡平生．读里耶秦简札记．“简帛研究”网，2003/10/23（http://www.jianbo.org ）.
[16]钱宝琮．中国数学史[M]．北京：科学出版社，1964．126.
[17]李俨．中国古代数学史料[M]．上海：上海科学技术出版社，1963．191.
[18]李俨．中国古代数学史料[M]．上海：上海科学技术出版社，1963．2.
[19]李俨．中国古代数学史料[M]．上海：上海科学技术出版社，1963．14.
[20]钱宝琮．中国数学史[M]．北京：科学出版社，1964．10.
[21]湖南省文物考古研究所. 湘西里耶秦代简牍选释[J]，中国历史文物，2003，1．
[22]杜石然．数学·历史·社会[M]．沈阳：辽宁教育出版社，2003．14.
[23]罗素．西方哲学史[M]．北京：商务印书馆，1989．65.
[24]李俨．中国古代数学史料[M]．上海：上海科学技术出版社，1963．12.
[25]郭沫若．郭沫若全集·管子集校[M]．北京：人民出版社，1985．400.
[26]中外数学简史编写组．中国数学简史[M]．济南：山东教育出版社，1986．45.
[27]张善文．象数与易理[M]．沈阳：辽宁教育出版社，19933．19.
[28]谭戒甫. 周易卦爻新论[J]，文哲，1936,5.