北大秦簡《算書丙種》數字書寫錯誤現象初探

　　摘要：筆者發現北大秦簡《算書丙種》卷三47號簡存在數字書寫錯誤，書手將“廿四母卌五子”錯寫爲“卌五母廿四子”。結合整理者指出的數字錯誤，總結《算書丙種》常見的四種數字書寫錯誤類型，分别是漏寫數字、多寫數字、因計算錯誤或字形相近錯寫數字、將分子分母顛倒錯寫數字。進而從書手、文本與環境主客觀兩方面推測數字書寫錯誤的原因，書手書寫時身心狀態不佳、不認真核對、計算能力偏差、邏輯思維能力不強等是主觀原因，計算規則不完善、數字書寫形式複雜、書寫環境燈光昏暗等是客觀原因。《算書丙種》中數字容易錯寫，簡牘數學文獻研究中認真核對數字具有重要意義。
　　關鍵詞：北大秦簡牘；算書；數字；書寫錯誤；書手
　　 
　　一、《算書丙種》中的一處數字書寫錯誤
　　《北京大學藏秦簡牘（全五册）》卷三有數學類簡牘《算書丙種》，其中44-47號簡涉及6種糧食之間的換算：
　　 
　　■以米求粟，三母五子。·以米求叔（菽），再母三子。·以米求粺，十母九子。·以米求毀（毇），十母八子。·以粺求粟，廿七母五十子。·以毀（毇）求粟，廿四母五十子。·以粺求稻粟，廿七母六十子。·以毀（毇）求稻粟，【廿四】母六十子。以粟求稻粟，五母六子。以叔（菽）求粟，九母十子。·以叔（菽）求稻粟，九母十二子。·以叔（菽）求粺，卌五母廿七子。以毀（毇）求叔（菽），卌五母廿四子。[1]
　　 
　　卷三44-47號簡涉及米、粟、菽、粺、毇、稻粟6種不同糧食之間的換算比例，整理者認爲米爲初次加工後的糲米、粟爲禾或黍的穀子、菽爲大豆、粺爲加工精細程度高于糲米的米、毇爲加工精細程度高于粺米的米、稻粟爲稻穀。[2]“以米求粟，三母五子”義爲用米換取粟，需要乘以三爲分母以五爲分子的分數，即用米的數量乘三分之五得到粟的數量，整理者認爲需要乘五除以三。[3]故可以用等式來表示簡文中的13個換算：
　　 
　　(一) 米×5÷3=粟
　　(二) 米×3÷2=菽
　　(三) 米×9÷10=粺
　　(四) 米×8÷10=毇
　　(五) 粺×10÷9×5÷3=粺×50÷27=粟（先將粺換爲米再換爲粟）
　　(六) 毇×10÷8×5÷3=毇×50÷24=粟（先將毇換爲米再換爲粟）
　　(七) 粺×60÷27=稻粟
　　(八) 毇×10÷8×9÷10×60÷27=毇×60÷24=稻粟（先將毇換爲米再換爲粺再換爲稻粟）
　　(九) 粟×27÷50×60÷27=粟×6÷5=稻粟（先將粟換爲粺再換爲稻粟）
　　(十) 菽×2÷3×5÷3=菽×10÷9=粟（先將菽換爲米再換爲粟）
　　(十一) 菽×10÷9×6÷5=菽×12÷9=稻粟（先將菽換爲粟再換爲稻粟）
　　(十二) 菽×2÷3×9÷10=菽×18÷30=菽×27÷45=粺（先將菽換爲米再換爲粺）
　　(十三) 毇×10÷8×3÷2=毇×30÷16=毇×45÷24=菽（先將毇換爲米再換爲菽）
　　 
　　值得注意的是，簡文中“以毀（毇）求叔（菽）”得到的結果是“卌五母廿四子”，也即“毇×24÷45=菽”，這與上文計算得出的“毇×45÷24=菽”不符。經對比發現，47號簡的書手寫錯了數字，把分子與分母的位置錯誤顛倒，計算結果正確的表述應爲“廿四母卌五子”，此處“卌五母廿四子”實爲書手書寫錯誤。故《算書》中比較容易出錯的是數字，數字書寫錯誤的一大原因是將分數的分子與分母顛倒。
　　 
　　二、《算書丙種》數字書寫錯誤的幾種類型
　　《算書丙種》中存在一些數字書寫錯誤，整理者發現了多處，上文也論及分數書寫錯誤的情況，筆者根據出錯的不同情況將數字書寫錯誤分爲以下四類：
　　 
　　（一）漏寫數字
　　書手在書寫時直接漏寫數值較大的數字中的一部分數字，如整理者指出，卷三第17、18號簡有“二千八十三”，兩處“二千”之後均漏寫“二百”。[4]此外，卷三第21號簡有“以七分爲三百一十五”，整理者指出“七分”和“爲”之間漏寫“爲三百六十，以八分”，[5]其中漏寫了兩個數字“三百六十”和“八”。
　　（二）多寫數字
　　書手將同樣的數字連寫兩遍，多寫一個數字，如整理者指出，卷三第23號簡有“八十四步有（又）七千一百廿廿九分步之五千九百六十四”，書手多寫了一個“廿”字。[6]
　　（三）因計算錯誤、字形相近錯寫數字
　　將一個數字完全錯寫爲另一個數字，卷三第29號簡有“十三成”，整理者指出書手將“二”多寫一橫筆錯寫爲“三”，並且漏寫“成”後的“一”字。[7]將“十二”寫成“十三”可能是計算錯誤導致的，也可能是書寫時因字形相近不經意寫錯的，“三”與“二”字形相近，“二”多寫一筆或“三”少寫一筆都會導致錯誤。
　　（四）將分子分母顛倒錯寫數字
　　分子與分母錯換位置、上下顛倒，如上文中提到的卷三第47號簡，書手將“廿四母卌五子”錯寫爲“卌五母廿四子”。
　　 
　　三、推測簡牘數學文獻數字書寫錯誤的原因
　　（一）書手的主觀原因
　　《算書丙種》出現多處數字書寫錯誤，主觀上從書手的角度對其原因進行推測，書手書寫時身心狀態不佳、不認真核對、計算能力偏差、邏輯思維能力不強等都可能是造成數字書寫錯誤的原因。比如上文提及的卷三第21號簡有“以七分爲三百一十五”，“七分”和“爲”之間漏寫“爲三百六十，以八分”。卷三20、21號簡部分簡文爲：
　　 
　　下有九分，以一爲二千五百廿，以半爲千二百六十，以三分爲八百卌，以四分爲六百卅，以五分爲五百四，以六分爲四百廿，以七分爲三百一十五，以九分爲二百八十，同之爲七千一百廿九以爲法。
　　 
　　這部分簡文講解的數學計算方法非常有邏輯性，一爲1/1，半爲1/2，三分爲1/3，以此類推一直到九分爲1/9，從“以一爲二千五百廿”一直到以“九分爲二百八十”。從1一直到1/9，可以明顯發現中間少了“八分”即八分之一的計算，根據計算的方法可以補出“七分”和“爲”之間漏寫“爲三百六十，以八分”。從此處的漏寫就可以看出書手邏輯思維能力差，漏寫了“七分”之後的“八分”，直接跳到“九分”。這是顯而易見可以發現的錯誤，此後極大可能書手寫完没有檢查，完全不能發現漏寫“八分”的計算。由此處錯誤可以看出書手不認真核對、邏輯思維能力不強。
　　此外，如上文提及的卷三第29號簡書手將“十二成一”錯寫爲“十三成”，存在計算錯誤的可能，反映出書手計算能力偏差的問題。
　　 
　　（二）文本與環境的客觀原因
　　從客觀角度來説，計算規則不完善、數字書寫形式複雜、書寫環境燈光昏暗等都會造成數字書寫錯誤。在秦代數學計算規則中没有分數計算結果約分這一規定，這造成秦代數學簡牘中存在大量數值非常大的整數和分數。越簡單、數值越小的整數和分數越不容易出錯，但《算書》中保留了大量數值非常大的數字，這提高了書寫錯誤的概率。比如上文提及的卷三第17、18號簡有“二千八十三”，兩處“二千”之後均漏寫“二百”。還有上文提及的卷三第23號簡有“八十四步有（又）七千一百廿廿九分步之五千九百六十四”，書手多寫了一個“廿”字，這是一個非常複雜的分數。而且當時秦代數字書寫形式複雜，全部用漢字，没有使用阿拉伯數字。用漢字書寫數值較大的數字需要寫更多的筆畫、佔據空間更大、更不易辨認，阿拉伯數字“7129”比漢字“七千一百廿九”更簡潔、易書寫和辨認，更不容易出錯。所以用漢字書寫數值較大的數字增加了書寫錯誤的概率。此外，如果在夜間書寫，書寫環境燈光昏暗等客觀因素都會造成影響。
　　 
　　四、由數字錯誤看簡牘數學文獻核對數字的重要性
　　 
　　《算書丙種》中數字容易錯寫，數學簡牘中的數字值得特別關注。要盡可能將所有計算過程親自演算一遍，確保所有數字准確無誤，包括計算過程中的各項數字和最後的計算結果。數字的正確也説明計算方法和計算過程以及計算結果三者都正確，數字出現錯誤説明計算方法、計算過程和計算結果都可能存在錯誤，需要進一步驗證出錯的環節。所以在數學簡牘研究中認真核對數字具有重要意義。比如卷三第29號簡書手將“十二成一”錯寫爲“十三成”，只要帶入計算就可以發現錯誤。卷三29-30號簡釋文爲：
　　 
　　■圜（圓）田周卅步，令三而一為徑，徑十步，爲田（七十）五步。·其述（術）曰：半周半徑相乘，即成。·一述（術）曰：周乘周，十三成。·一述（術）曰：徑乘周，四而成一。·一述（術）曰：參（三）分周爲從（縱），四分周爲廣，相乘即成。·述（術）曰：徑乘徑，四成三。
　　 
　　據簡文可知，圓的周長爲30步，直徑爲周長的三分之一（此處圓周率π爲3），即爲十步，圓的面積爲七十五平方步。這里給出了五種計算圓面積的方法，其中四種方法的計算結果均無誤，均爲75平方步。唯獨第二種計算方法的結果不是75平方步，第二種計算方法爲“一述（術）曰：周乘周，十三成。”
　　如上文所述整理者指出“十三成”後漏寫“一”字。故按“十三成一”計算，周長乘周長除以13就得到圓的面積，即30×30÷13=900÷13=900/13，結果不等于75，與“爲田（七十）五步”矛盾。若將“十三”換爲“十二”，周長乘周長除以12就得到圓的面積，即30×30÷12=75，恰好等于75平方步，與“爲田（七十）五步”相合。故“十三成”應爲“十二成一”，書手將“二”多寫一橫筆錯寫爲“三”，並且漏寫“成”後的“一”字。此處就是由錯誤的計算結果發現了計算方法的錯誤，計算方法中的被除數不應該是13而應該是12。
　　 
　　綜上，《算書丙種》卷三47號簡存在數字書寫錯誤，書手將“廿四母卌五子”錯寫爲“卌五母廿四子”。《算書丙種》常見的四種數字書寫錯誤類型是漏寫數字、多寫數字、因計算錯誤或字形相近錯寫數字、將分子分母顛倒錯寫數字。從書手、文本與環境主客觀兩方面推測數字書寫錯誤的原因，書手書寫時身心狀態不佳、不認真核對、計算能力偏差、邏輯思維能力不強等是主觀原因，計算規則不完善、數字書寫形式複雜、書寫環境燈光昏暗等是客觀原因。《算書丙種》中數字容易錯寫，簡牘數學文獻研究中認真核對數字具有重要意義。
　　 

[1] 北京大學出土文獻與古代文明研究所編：《北京大學藏秦簡牘（全五册）》，上海古籍出版社，2023年，第384頁。本文北大秦簡釋文皆出該書，不再贅引。
[2] 北京大學出土文獻與古代文明研究所編：《北京大學藏秦簡牘（全五册）》，第384頁。
[3] 北京大學出土文獻與古代文明研究所編：《北京大學藏秦簡牘（全五册）》，第384頁。
[4] 北京大學出土文獻與古代文明研究所編：《北京大學藏秦簡牘（全五册）》，第370-371頁。
[5] 北京大學出土文獻與古代文明研究所編：《北京大學藏秦簡牘（全五册）》，第371頁。
[6] 北京大學出土文獻與古代文明研究所編：《北京大學藏秦簡牘（全五册）》，第371頁。
[7] 北京大學出土文獻與古代文明研究所編：《北京大學藏秦簡牘（全五册）》，第376-377頁。
　　 
　　（編者按：本文收稿時間為2023年8月28日03：57。）