睡虎地漢簡《算術》初讀

张宇鑫

睡虎地漢簡《算術》簡41：“●乘員（圓）田之術曰：昔周曰〈自〉乘，十二成一。”此處的“昔”字可能爲“耤”之訛，也可能是“耤”字左半部分的“耒”墨跡消失或僅留不易辨認的痕跡，應改釋爲“耤”。由于圖版没有公布，故無法確定具體是何種情况。已公布的秦漢數學簡牘和《九章算術》的術文中均無“昔”字，但有“耤”字。北大秦簡《算書甲種》簡83：“員（圓）田述（術）……其一述（術）：耤（藉）周自乘殹（也），十二成一。”《算書甲種》此題與《算術》此題計算方法完全相同。張家山漢簡《算數書》簡151：“術曰：耤（藉）周自乘，以深乘之，十二成一。”《算數書》此題是求圓柱體積，《算術》此題是求圓面積，二者求圓面積的術文完全相同，都是“耤周自乘，十二成一。”嶽麓秦簡《數》也有大量“耤”字出現。譚競男指出《算數書》、《數》中的此類“耤”字有憑藉、藉助之義，可從。

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睡虎地漢簡《算術》簡31-36：“里田之術曰：直（置）廣、從（縱）里數，令相乘也，因而三之，有（又）三五之，即成田也。31廣一里，從（縱）一里，爲田三頃七十五畝。革八尺七十五寸一度。32廣二里，從（縱）三里，爲田廿二頃五十畝。33廣三里，從（縱）四里，爲田卌五頃。34田廣一里少半里，從（縱）一里泰（大）半里，爲田八頃卅三畝八十步。一得十一畝廿六步九分六。35廣七里，從（縱）九里，爲田二百卅六頃廿五畝。廣十里，從（縱）十里，爲田三百七十五頃。36”本題是求矩形田面積的算題，邊長以里爲單位。簡32的“革八尺七十五寸一度”顯然與本題無關。簡35的“一得十一畝廿六步九分六”雖然是田面積“八頃卅三畝八十步”的七十五分之一，但也與本題求矩形田的面積無關。税田面積一般爲總面積的十二分之一，也不可能是税田。蔡丹、譚競男指出《算術》原始編連狀態保存較好、字跡清晰。《湖北雲夢睡虎地M77發掘簡報》：“大部分（簡牘）留存于竹笥之内，是連同竹笥整體取回後在室内逐層清理出來的，它們基本上保持着原始的位置關係。”可以説明竹簡的編連狀態好，且本題各簡在内容上聯繫緊密，都屬于“里田之術”，所以簡31-36的編連并無問題。且《算術》也没有分上下欄或多欄書寫，故簡32、35中的與本題内容無關的簡文極大可能屬于誤抄，即簡32的“革八尺七十五寸一度”、簡35的“一得十一畝廿六步九分六”爲衍文。北大秦簡《算書》也有多處衍文，數學簡牘出現衍文是比較常見的現象。由于竹簡圖版和各簡之間的位置關係並未公布，所以有待進一步探究，但簡31-36編連有誤的可能性不大。

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睡虎地漢簡《算術》簡50-51：“土攻（功） 凡乘土攻（功）、攻（功）材木積尺=曰：積寸千，爲尺一；尺乘尺，尺也；寸乘寸，寸也；尺乘丈，十尺也；50尺乘丈，十尺也；寸乘尺，十分尺一也；尺乘十丈，百尺也；寸乘丈，尺也。51”蔡丹、譚競男指出簡50“尺”字後的重文符號爲衍文，指出簡50-51的“尺乘丈，十尺也”重復出現，爲衍文，可從。蔡丹、譚競男認爲此題是立體體積的計算，他們將此題的計算過程用等式表示：“1立方寸×1000=1立方尺、1平方尺×1尺=1立方尺、1平方寸×1寸=1立方寸、1平方尺×1丈=10立方尺、1平方寸×1尺=1/10立方尺、1平方尺×10丈=100立方尺、1平方寸×1丈=1立方尺。”此題確爲計算體積的算題，若爲面積計算，將相乘的兩數看作矩形的兩邊，則“積寸千，爲尺一”不能成立，其餘均能成立。“積尺”在北大秦簡《算書》、岳麓秦簡《數》、張家山漢簡《算數書》中指體積，此處也應指體積。但“寸乘尺，十分尺一也”、“寸乘丈，尺也”應分别爲“1平方寸×1尺=1/100立方尺”、“1平方寸×1丈=1/10立方尺”，而非“1平方寸×1尺=1/10立方尺”、“1平方寸×1丈=1立方尺”。故“寸乘尺，十分尺一也”之“十”爲“百”之訛，“寸乘丈，尺也”之“尺”前脱“十分”、後脱“一”。此處應爲計算錯誤，用“【】”表示脱文，釋文應修訂爲：“土攻（功） 凡乘土攻（功）、攻（功）材木積尺=曰：積寸千，爲尺一；尺乘尺，尺也；寸乘寸，寸也；尺乘丈，十尺也；50尺乘丈，十尺也；寸乘尺，十〈百〉分尺一也；尺乘十丈，百尺也；寸乘丈，【十分】尺【一】也。51”北大秦簡《算書》有相似的簡文，不過是面積的計算，不是體積的計算。北大秦簡《算書甲種》簡201-202正面：“·凡乘，尺乘尺，尺也；尺乘寸，寸也；寸乘寸，十分寸一也；半寸乘寸，廿分寸一也；201正尺乘丈，丈也；丈乘十丈，十丈也。202正”《算書乙種》簡284-283背面：“度方术（術）：以廣乘袤，有（又）以高乘之，即成積尺。·寸乘寸，寸也；寸乘尺，十分尺一也；寸乘十尺，尺284背也；寸乘百尺，十尺也；寸乘千尺，百尺也；寸乘萬尺，千尺也；寸乘十萬尺，萬尺也。283背”

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睡虎地漢簡《算術》簡116-119：“食攻（功） 食攻（功）之術曰：先得大徒及延袤之數，而令約也，即一人之延袤也。今有城五里，欲以萬人攻（功）之，問一人得延袤幾何。其得也曰：十分尺之九……問幾日而堵。其得也日〈曰〉……”其中，“問一人得延袤幾何”、“問幾日而堵”後用問號更妥。《九章算術》和其他秦漢數學簡牘的類似表述皆用問號。

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睡虎地漢簡《算術》簡214-215：“率石幾何。率，其二百九十三石二鈞廿斤……”其中，“率石幾何”後用問號更妥。

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睡虎地漢簡《算術》簡192-206的3道“率”類算題有“奇”、“上其”、“下其”，譚競男、蔡丹指出這三個術語不見于其他出土算術書，“上其”、“下其”更不見于其他文獻。如簡192-196：“石率 錢千七百卌四買粟六十八石八斗五升。·率，其廿二石七斗五升，石廿六錢；卌六石一斗，石廿五錢。·術曰：以粟升數爲法，令錢一爲百以爲實，實如法得一錢，奇不如法以爲粟數，爲上其；因以上其除法，余不除者亦以爲粟數，爲下其。上其賈（價）貴下其石一錢。欲復之，置一石賈錢，以粟升數乘之，除百而得一錢。”譚競男、蔡丹指出“奇”表示餘數，引《漢書·食貨志》：“以收奇羨。”顏師古注：“奇，殘餘也。羨，饒溢也。”此外，譚競男、蔡丹認爲“其”可作名詞，指餘數。

北大秦簡《算書》已公布，有“奇”、“上奇”、“下奇”。《算書甲種》簡149-150正面：“·大廣十五步七分步三，從（縱）十六步九分步二，成田一畝十步六十三分步十八。·其述（術）曰：七其廣而九其從（縱），皆上奇，相乘爲實；兩分相乘，六十三以爲法；除實，如法而一步。”《算書甲種》簡154-157正面：“·税田二百一十五步，十步一斗，租二石一斗五升。今乾之七升，問：租幾可（何）？得曰：十四步七分二而一斗，租一石五斗三升半升。述（術）曰：直（置）七升爲法，直（置）程十步，以十升乘之爲實，實如法一斗〈步〉。奇不盈斗〈步〉，因而七之，有（又）十之，亦七其法，下奇從之，如法一升。·輿田如法一升。”

《算書甲種》中的“奇”表示餘數，“上奇”、“下奇”分别表示分數分子、分母部分的餘數。譚競男、蔡丹認爲“上其”、“下其”之“上”、“下”可能爲單位大小，而《算書甲種》的整理者指出“上奇”、“下奇”之“上”、“下”表示用算籌計算時把餘數分别擺放在上方、下方。分子的餘數在上方，爲上奇；分母的餘數在下方，爲下奇。《算書》多有“上”、“下”的表述，指在上方的分子部分和下方的分母部分，即除法運算中的被除數部分、除數部分。如《算書》“少廣”算題中常見的“下有几分”，指分母中有分數。所以“上”、“下”表示位置的上下，“上”在分子部分、“下”在分母部分。所以《算術》中的“奇”表示餘數無誤，“上其”、“下其”就是“上奇”、“下奇”。“其”無餘數、殘餘之義，“其”作名詞指餘數之説恐難成立。可以將“其”讀爲“奇”，但文獻中無此例。筆者推測“其”更可能爲“奇”之訛，“奇”確有殘餘、餘數之義。《易·繫辭上》：“揲之以四，以象四時；歸奇於扐，以象閏。”韓康伯注：“奇，況四揲之餘不足復揲者也。”《管子·禁藏》：“果蓏素食當十石，穅粃六畜當十石，則人有五十石。布帛麻絲，旁入奇利，未在其中也。”尹知章注：“奇，餘，言不在五十石之中也。”《儀禮·鄉射禮》：“一筭爲奇，奇則又縮諸純下。”鄭玄注：“奇猶虧也。”《漢書·楚元王傳附劉向》：“春秋二百四十二年，日蝕三十六，襄公猶數，率三歲五月有奇而壹食。”顏師古注：“奇謂成數之餘，不滿者也。”若推測成立，《算術》中的“上其”、“下其”應修訂爲“上其〈奇〉”、“下其〈奇〉”。

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睡虎地漢簡《算術》有多個“賈”字，譚競男、蔡丹將其讀爲“價”。《算術》簡192-196：“石率 錢千七百卌四買粟六十八石八斗五升。·率，其廿二石七斗五升，石廿六錢；卌六192石一斗，石廿五錢。·術曰：以粟升數爲法，令錢一爲百以爲實，實如法得一錢，193奇不如法以爲粟數，爲上其；因以上其除法，余不除者亦以爲粟數，爲下其。194上其賈（價）貴下其石一錢。195欲復之，置一石賈錢，以粟升數乘之，除百而得一錢。196”簡200-201：“上其賈（價）貴下其石一錢，200欲復之，置一石賈（價）錢。”簡205-206：“上其賈（價）貴下其石一錢，205欲復之，置一石賈錢。”“賈”讀爲“價”，價格、價錢。《説文新附·人部》：“價，物直也。從人、賈，賈亦聲。”簡195、200、201、205的“賈”均讀爲“價”，但簡196、206的“賈”未讀爲“價”，應修訂爲“賈（價）”。

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睡虎地漢簡《算術》簡75-76：“·賣瓜六百七十，取錢二百九十三，率之，其四百一十八瓜，二瓜一錢；其二百五十二瓜，三瓜一錢。術曰：以少75除多，多壹除少，少者即貴一錢。76”譚競男、蔡丹指出此題與《九章算術·粟米》“反其率”含義相近，但方法不同。譚競男、蔡丹對對此題計算過程的解釋：

以少除多     670（多）-293（少）=84
多壹除少     293（多）-84（少）=209,209（多）-84（少）=84
少者即貴一錢   84（少者）：3錢；209（多者）：2錢
          84×3=252瓜，3瓜/錢
          209×2=418瓜，2瓜/錢

此解釋的數學等式有明顯的錯誤，“670（多）-293（少）=84”不可能成立，670-293=377,670需連續減去兩個293才等于84：670-293-293=84。“209（多）-84（少）=84”不可能成立，209-84=125。《九章算術·粟米》的“反其率術”已經過王輝的校勘，“所率爲實”當修改爲“所買爲實”，可從。《九章算術》的“反其率術”：“以錢數爲法，所買爲實，實如法而一。不滿法者，反以實減法。法少實多，二物各以多少之數乘法實，即物數。”依此正確術文計算，計算過程如下：

以錢數爲法，所買爲實，實如法而一      670÷293=2……84
不滿法者，反以實減法              84＜293,293-84=209
法少實多，二物各以多少之數乘法實，即物數 84×3=252,252個瓜的價格是3瓜1錢；209×2=418瓜，418個瓜的價格是2瓜1錢

所以《算術》此題的解釋應修正爲：

以少除多                       670-293=377
多壹除少                       377-293=84
少者即貴一錢                     84（少者）：3錢；209（多者）：2錢
二物各以多少之數乘少者、多者，即物數  84×3=252瓜，3瓜/錢；209×2=418瓜，2瓜/錢

此題術文可能有脱文，在“少者即貴一錢”之後脱“二物各以多少之數乘少者、多者，即物數”一類的表述。

譚競男、蔡丹認爲“以少除多”表示減法，無誤，秦漢數學簡牘中常見此用法。但譚競男、蔡丹認爲“多壹除少”的“壹”表示“多除少”的計算步驟是個可多次計算的整體，直到得到所需結果。筆者認爲“壹”就是一次的意思，這裏指做一次減法。嶽麓秦簡《數》簡186-190：“方亭，乘之，上自乘，下自乘，下壹乘上，同之，以高乘之，令三而成一。”嶽麓秦簡《數》簡191-192：“乘園（圓）亭之述（術）曰：下周耤之，上周耤之〼 〼各自乘也，以上周壹乘下周，以高乘之，卅六而成一。《數》中的“壹乘”表示乘一次，《算術》中的“壹除”也應該指減一次，並非做多次減法。

此外，譚競男、蔡丹認爲《九章算術·粟米》“反其率”算題中的“所率”爲所買率，“所率”是運算中不同數值的簡省指代，以往學者的校改無必要。筆者認爲“所率”就是特定的比率，“其率術”中的“所率”是比率，將1單位所買物價格轉化爲題目要求的石、鈞、斤、兩、銖的價格需要乘此比率。從王輝的解釋，“反其率術”中的“率”爲“買”之訛，“反其率術”不需要“所率”介入計算，直接求一錢所買物的數量。且若“所率”爲“所買率”，“其率術”中的所率爲將1單位物品轉化爲石、鈞、斤、兩、銖的比率，緊接“其率術”的“反其率術”的“所率”又變成了“所買率”，同類算題中一詞有兩個不同含義，不妥。李繼閔將“所率爲實”改爲“所率乘所買爲實”的校改不合理，王輝將“率”改爲“買”的校改非常正確，當從。

此外，《睡虎地漢簡〈算術〉“率”類算題》一文尾注14有誤，“校改‘所率’爲‘所買率’”有誤，王輝是校改“所率”爲“所買”，而非“所買率”。

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睡虎地漢簡《算術》簡75-76：“·賣瓜六百七十，取錢二百九十三，率之，其四百一十八瓜，二瓜一錢；其二百五十二瓜，三瓜一錢。術曰：以少75除多，多壹除少，少者即貴一錢。76”據圖版，“七十”寫作兩橫一豎的字，上橫長、下橫短，應釋爲“該字（七十）”。“七十”寫作該字在秦漢簡中常見。此外，據圖版，簡76下端有“三百八十四朱（銖）一斤”，或爲衍文。

张宇鑫

张宇鑫 發表於 2024-1-30 16:21
睡虎地漢簡《算術》簡31-36：“里田之術曰：直（置）廣、從（縱）里數，令相乘也，因而三之，有（又）三五 ...

蔡丹、譚競男指出簡35的“一得十一畝廿六步九分六”疑爲誤抄。