### 步骤 1：设定变量
设圆的半径为 \( r \)，圆心角为 \( \theta \)（以弧度计）。
### 步骤 2：建立方程
1. **弧长公式**：
\[ s = r \theta \]
代入已知 \( s = 20 \)：
\[ 20 = r \theta \quad \Rightarrow \quad \theta = \frac{20}{r} \]
2. **弦长公式**：
\[ c = 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \]
代入已知 \( c = 10 \)：
\[ 10 = 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \quad \Rightarrow \quad \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{5}{r} \]
### 步骤 3：联立方程求解
将 \( \theta = \frac{20}{r} \) 代入弦长公式：
\[ \sin\left(\frac{20}{2r}\right) = \frac{5}{r} \]
简化得到：
\[ \sin\left(\frac{10}{r}\right) = \frac{5}{r} \]
这是一个超越方程，无法通过代数方法直接求解，需要使用数值方法（如牛顿迭代法）来逼近 \( r \) 的值。
### 步骤 4：数值逼近
设 \( x = \frac{10}{r} \)，则方程变为：
\[ \sin(x) = \frac{5}{r} = \frac{5}{\frac{10}{x}} = \frac{x}{2} \]
即：
\[ \sin(x) = \frac{x}{2} \]
我们需要找到 \( x \) 使得 \( \sin(x) = \frac{x}{2} \)。
1. **初始猜测**：假设 \( x_0 = 1.5 \)。
2. **迭代公式**：使用牛顿迭代法，设 \( f(x) = \sin(x) - \frac{x}{2} \)，则 \( f'(x) = \cos(x) - \frac{1}{2} \)。
3. **迭代过程**：
- 计算 \( f(1.5) = \sin(1.5) - \frac{1.5}{2} \approx 0.9975 - 0.75 = 0.2475 \)
- 计算 \( f'(1.5) = \cos(1.5) - 0.5 \approx 0.0707 - 0.5 = -0.4293 \)
- 更新 \( x_1 = 1.5 - \frac{0.2475}{-0.4293} \approx 1.5 + 0.576 = 2.076 \)
- 重复上述步骤，直到收敛。
经过几次迭代后，我们发现 \( x \approx 1.895 \) 是一个近似解。
### 步骤 5：求解半径 \( r \)
由于 \( x = \frac{10}{r} \)，所以：
\[ r = \frac{10}{x} \approx \frac{10}{1.895} \approx 5.28 \]
### 步骤 6：计算弓形面积
弓形面积 \( A \) 可以通过以下公式计算：
\[ A = \frac{r^2}{2} (\theta - \sin(\theta)) \]
其中 \( \theta = \frac{20}{r} \approx \frac{20}{5.28} \approx 3.79 \) 弧度。
代入数值：
\[ A \approx \frac{5.28^2}{2} (3.79 - \sin(3.79)) \]
\[ A \approx \frac{27.88}{2} (3.79 - (-0.601)) \]
\[ A \approx 13.94 \times 4.391 \]
\[ A \approx 61.2 \]
### 最终答案
弓形的面积约为：
\[ A \approx 61.2 \]
發表於 2025-2-8 16:41
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