關於嶽麓秦簡《數》32（0841）“三步廿八寸”

石臞小崽

新見吳朝陽先生大作，討論嶽麓秦簡《數》簡32（0841）整理者未解決之“三步廿八寸當”的確切意思，論述精彩。不過日本學者田村誠（ 《嶽麓書院藏秦簡〈數〉について》，中國古算書研究會2012年。）已有類似看法，可參見。

惊鹤闻风

我进入田村诚先生的网页
http://kenkyu.osaka-sandai.ac.jp/Profiles/10/0000982/theses1.html

http://pal.las.osaka-sandai.ac.jp/~suanshu/j/publications2.html

,未发现该文章.


希望有此文章的朋友提供一下,谢谢!

石臞小崽

我也只有相關段落：
2．『算数書』【32】「取枲程」から見る（三二＋三三＋三四）簡の解明について
(三二+三三+三四)は次のように釈されている。

(三二+三三+三四)（岳麓本）
枲兌（稅）田十六歩、大枲高五尺。三歩一束。租八斤五兩八銖。今復租之、三歩廿八寸當三歩又百九十六分歩　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　0841
之八十七而一束。租七斤四兩三束【銖】九分銖五。求此之術曰、置一束寸數、耤令相乘也 、以一束歩數乘之以爲實。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　0805
亦置所新得寸數、耤令相乘也、以爲法。實如法得一両・・・　　　　　　　　　　0824

訓読：枲の税田十六歩、大枲の高五尺。三歩にして一束。租八斤五両八銖。今復た之に租するに、三歩にして二十八寸は三歩又百九十六分歩の八十七にして一束に当たる。租七斤四両三銖九分銖の五。此れを求むるの術に曰く、一束の寸数を置き、耤りて相乗ぜしむる也、一束の歩数を以て之に乗じて以て実と為す。亦た新たに得る所の寸数を置きて、耤りて相乗ぜしむる也、以て法と為す。実、法の如くして一を得・・・

この算題の初めの問題設定は、16平方歩の税田に高さ5尺の大枲がとれ、3歩ごとに1束の税を課すとき、その税はいくらかというものである。大枲の場合、(一六)簡で「大枲五之、中枲六之、細七之」とあるように、両（重量）への換算係数は5であった。税高は、 である。
岳麓本の本算題注［三］では、「「三歩廿八寸當」は衍文のようである。或いは「三歩廿八寸當」に脱文があるのか」としており、「三歩廿八寸」の意が理解されずにいた。税率が 平方歩ごとに1束とすれば、税高は となる。問題は、「三歩廿八寸當三歩又百九十六分歩之八十七而一束」の意味と「求此之術」が何を求める術なのかという点にあった。本算題と類似の算題が、『算数書』【32】「取枲程」に見える。

取枲程　取枲程十歩三圍束一、今乾之廿八寸、問幾何歩一束。術曰、乾自乘為法、生自乘又以生一束歩數乘之為實、實如法得十一歩又九十八分歩四十七而一束。

「取枲程」は、「10平方歩の田から周長3圍（30寸）の束が１束得られたが、これが乾くと周長28寸に減った。乾いた状態で周長30寸の束を得るには何平方歩必要か」というものである。計算は、田の面積と乾いた束の断面積との比例関係  より、 （平方歩）のように求められる。

本題後半でも、「3平方歩で周3圍（30寸）の束が１束」を取ることは当然の前提としており、「取枲程」と同様に、これが乾いて周長28寸に減ったとき、周長30寸の束を取るための田の面積を求めている。すなわち釈文の「今」字の後には「乾之廿八寸」が略されている。

(三二+三三+三四)（研究会）
枲兌（稅）田十六歩、大枲高五尺。三歩一束。租八斤五兩八銖。今［乾之廿八寸一束］。復租之、三歩廿八寸當三歩又百九十六分歩　　　　　　　　　　　　　　　　　0841
之八十七而一束。租七斤四兩三束【銖】九分銖五。求此之術曰、置一束寸數、耤令相乘也 、以一束歩數乘之以爲實。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　0805
亦置所新得寸數、耤令相乘也、以爲法。實如法得一□・・・　　　　　　　　　0824

計算は、田の面積と乾いた束の断面積との比例関係  より、 （平方歩）のように求められ、文意が通ずる。したがって、「求此之術」とは、乾いた状態で周長30寸の束を取るための田の面積を求める術であって、直接に税高を求めるものではない。よって、（三四）簡の「實如法得一」の後の一字は「両」では無い。


中文翻譯：
二, 阐明(三二+三三+三四)简
对(三二+三三+三四)简整理者的释文是如下:

枲兌（稅）田十六歩、大枲高五尺。三歩一束。租八斤五兩八銖。今復租之、三歩廿八寸當三歩又百九十六分歩　　　　　　　　　                              　      　　0841
之八十七而一束。租七斤四兩三束【銖】九分銖五。求此之術曰、置一束寸數、耤令相乘也 、以一束歩數乘之以爲實。　　　                                            　　0805
亦置所新得寸數、耤令相乘也、以爲法。實如法得一両・・・　　　　　        　　0824

这个算题的开头部分「枲兌（稅）田十六歩、大枲高五尺。三歩一束。租八斤五兩八銖」表示:16平方步的税田里有高5尺的大枲,每3平方步课税以1束时,税重量如何?(一六)简里有「大枲五之,中枲六之,细枲七之」的文句,从这个文句我们看得出来,把大枲的束数换成重量两时,其换算计数是5。因而求得其税重量的计算式是:

计算结果与「租八斤五兩八銖」一致。开头部分的文章是没有问题的。很难了解的就是下面文句「三歩廿八寸當三歩又百九十六分歩之八十七而一束」之中「三歩廿八寸當」6个字。「三歩又百九十六分歩之八十七而一束」的意思也很容易了解,就是说:每 平方步课税以1束时,求得其税重量的计算是:
   
计算结果与「租七斤四兩三束【銖】九分銖五」一致。可是「三歩廿八寸當」这些6个字的意思还不能了解。整理者对这个文句加注释说:“「三歩廿八寸當」似为衍文,或者「三歩廿八寸當」处有脱文。”这个注释表现着他们不能阐明这个6字的意思了。结果, 对于「求此之術曰」以下的文章也并不能解释其意思了。  “算数书”里有与本算题类似的算题,就是【三四】「取枲程」题。

取枲程　十歩三圍束一、今乾之廿八寸、問幾何歩一束。術曰、乾自乘為法、生自乘又以生一束歩數乘之為實、實如法得十一歩又九十八分歩四十七而一束。

「取枲程」题的意思是:每10平方步得3围（30寸）之枲1束。现在，使其（周长3围之新鲜枲1束）干燥为28寸。问：几平方步可得3围之干燥枲1束？因为圆柱的横截面积是跟圆周自乘有比例关系,所以田面积与干枲束之横截面积的比例关系是:  
  　
本算题的意思也跟「取枲程」题一样,是使周长3围(30寸)的新鲜枲干燥而减为28寸时,为了得周长3围(30寸)的干燥枲,需要几平方步的。就是说,在本算题里「今」字后面省略「乾之廿八寸」这一句了。“三步廿八寸当三步又百九十六分步之八十七而一束”的意思是:每3步得到周长28寸的干枲1束相当于每 步得到周长30寸的干枲1束。
计算是:因得1束的步数与干燥枲的断面积有比例关系3 : 282 = y : 302

「求此之术」以下的文章说:「置一束寸数(30寸),因而使这个自乘,然后乘以一束步数(3步)为实。置所新得的寸数(28寸),因而使这个自乘为法]。是跟上面的计算完全一致的。其计算法是求y的,不是直接求税重量的。因而(三四)简的「实如法得一」后面的一字并不是「两」字。

youren

http://ci.nii.ac.jp/els/11000949 ... 9349988&cp=

惊鹤闻风

读到了,谢谢以上二位!

可惜,无暇先读,失却先机.

惊鹤闻风

下文应得先机了也.

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嶽麓秦簡《數》之“乘方亭術”

吳朝陽
(南京大學數學系，南京師範大學歷史系)　

    《嶽麓書院藏秦簡（第二卷）》（即嶽麓秦簡《數》）之第818簡是一則“乘方亭述（術）”，即正四棱臺體積的公式。對於此簡，嶽麓秦簡《數》的注釋者認為原簡文有誤，給出了兩種校改方案。然而，此條之簡文應該是正確的，注釋者是由於沒有正確理解簡文中的“耤”字而產生誤解。

    據《嶽麓書院藏秦簡（第二卷）》，原算題（後文稱“乘方亭術”）釋文以及為注釋者給出的兩種校改方案分別如下：

    乘方亭述(術)曰：上方耤之下各自乘也，而並之，令上方有(又)相乘也，以高乘之，六成一。

    注釋者校改方案一： 乘方亭述(術)曰：上方耤之，下【方耤之】，各自乘也，而並之，令上方有〈下〉相乘也，【同之】，以高乘之，六成一。

    注釋者校改方案二：乘方亭述(術)曰：上方耤之，下【方耤之】，各自乘也，而並之，令上、【下】方有（又）相乘也，以高乘之，六〈三〉成一[1]。


    以上注釋者給出的第二種沒有增補“同之”二字，可見此二字意在言外，不言自明，補不補都是可以的。因此，注釋者認為這條簡文主要問題是漏寫了“方耤之”等字，並且有一個誤字。我們認為這條簡文其實沒有錯誤，而這個看法的關鍵在於對簡文中“耤”字的理解。

    古人計算用算籌，複雜計算的中間步驟常採取“借籌”的做法。如《九章算術•商功》的“開方術”中出現的“借一算”，其意思即是另外增加一個“借算”行，放置一枚算籌[2]。

    《玉篇•耒部》說：“耤，借也。”唐顏師古注《漢書•郭解傳》說：“耤，古藉字也，藉謂借助也。[3]”因此，“乘方亭術”簡文中的“耤”可以解為“借”，意思為“借算”。果如此解，則這條簡文就變成沒有錯誤，而且容易解釋的術文。試述如下：

    首先，“上方耤之下”的意思是將“上方”（上底邊長）“借與”“下方”（下底邊長）。因為是“借算”，所以計算中增加了一個“借行”，其數值等於“上底邊長+下底邊長”。
    其次，“各自乘也”一句承“耤之下”而來，故“借算”的主體是“下方”，因此，“各自乘也”是說“借行”自乘，“下方”也自乘。所以，“而並之”便是說把“借行自乘”與“下方自乘”相加。
    其三，“令上方有(又)相乘也”一句，不用多說，意思當然是“上方自乘”。
最後，由於“同之”是不言自明的，因此“以高乘之，六成一”的意思是把上述三項相加的結果乘以高，再除以六。

    綜合上述，如果記“上方”為Ａ１，“下方”為Ａ２，高為Ｈ，則“乘方亭術”所給出的公式為：

        [（Ａ１＋Ａ２）Ｘ（Ａ１＋Ａ２）＋Ａ２ＸＡ２＋Ａ１ＸＡ１］ＸＨ／６，

　　經化簡可得：

        [Ａ１ＸＡ２＋Ａ２ＸＡ２＋Ａ１ＸＡ１］ＸＨ／３，


　　以上這個公式正與嶽麓秦簡《數》的0830簡所給出的公式相同，此可見我們的解釋應該是正確的。如果非要說“乘方亭術”有毛病，那就是它少了不言自明的“同之”二字。

[1]  朱漢民，陳松長．岳麓書院藏秦簡（第二卷）．上海，上海辭書出版社，2011年，135．
[2]  參見：郭書春．九章筭術譯注．上海，上海古籍出版社，2009，133-140．
[3]  轉引自：宗福邦等．故訓匯纂．北京，商務印書館，2003，1831（“耤”字第8、9義項）．